[color=red] 首先，P进制小数的求法众所周知，是通过不停地在原小数上乘进制P取整数位。那么在原小数（1/N）上我们是否就可以将每一位看成是P^K/N呢？（k是当前长度）这个分数的整数部分就是小数的值（在这里其实不需要考虑），而真分数的值就是当前的余数。由于质数产生的循环小数全是纯循环小数（所有不含2，5质因子的数的倒数如果是循环小数则是纯循环小数），那么当P^K mod N＝1时，就一定是循环节了。
[color=red] 现在已经简化了问题，但是不停地将P往上乘时间耗费是巨大的。通过欧拉函数的性质，当P^K mod N=1时，K一定是N的欧拉函数值的约数，由于N为质数，那么K就一定是（N－1）的约数了。这样可以减少一部分时间，但是最后的数据仍然超时。
[color=red] 利用同余性质，a mod n=x, b mod n=y 则 a*b mod n=x*y mod n。我们可以将之前的结果保存下来，然后在之后的计算中通过之前的结果求出当前结果，而不是一次次地往上累乘.时间效率大大提高，这样，程序就能在所有数据中完美通过了。
[color=green]参考资料来源：http://www.nevergoby.cn/article.asp?id=27
我十分惊讶地看到我曾经费很长时间思考的题目竟然已经被解决了，而当时并没有找到答案。看来研究这些数论问题的OIers为数不少啊！
例如：求1/2008的循环节长度（答案：50）本题为了简单，设定进制与数n互质。
涉及到数论知识。首先，10^φ(m)≡1 (mod m), 是欧拉函数的性质，在此略去证明。对正整数n，欧拉函数是不大于n的数中与n互质的数的数目。而1/2008的循环节长度等于1/251的循环节长度，因为循环小数乘除2或5的任意幂次，循环节长度不变，乘除的2、5在mod 10时不会体现。10t≡1（mod n）与循环小数的关系，就是10t被n除余数为1，这样在除法式中，除到第t位时余数与开始时相同，这意味着新的循环开始了，即t是循环节长度。而251是质数，其欧拉函数为251-1=250. 由于250必为循环节长度的整数倍，故一个循环节的长度为250的约数，对约数从小到大逐一试验即可。
在本题中，联想10^φ(m)≡1与循环小数的余数，属于“构造”的经典。实际上，循环小数的循环节长度问题还与著名的“大整数分解问题”有关。关于循环节长度的讨论，目前仅能就约数一一试验，而没有更好的办法，由于1/p（p为素数）的循环节长度难以找到规律。如果能够解决循环节长度问题，得出大数的约数，解决大数分解问题，RSA加密体制的安全性将受到极大挑战，并引起数论界的一次革命。
在计算机编程实现中，可利用同余性质。如楼上所说，类似动态规划的过程。另外我在命制数据时，考虑到时间问题，没有出结果很大的极限数据，选择的大数据使得对于较优的程序，即使把p不停地往上乘，也不会超时。
参考资料：数学竞赛《骗分导论》http://lbj.80.hk/